Fourierrekker

Finn periode $T$ og halvperiode bredde, $\displaystyle L = \frac T 2$ , av funksjonens definisjonsmengde.

Finn funksjonens symmetriegenskaper, det kan være (1) Like funksjon, symmetri om y-aksen, $f(x) = f(-x)$ , a0 og an skal beregnes. $a_0 = \displaystyle \frac 2 L \int_{0}^{L} f(x) dx$   ,       $a_n = \displaystyle \frac 2 L \int_{0}^{L} f(x) \cdot \cos(\frac{n \pi} L x) dx$ (2) Odde funksjon, symmetri om origo, $f(x) = - f(-x)$ , bn skal beregnes. $b_n = \displaystyle \frac 2 L \int_{0}^{L} f(x) \cdot \sin(\frac{n \pi} L x) dx$ (3) Ingen symmetri, a0 , an og bn skal beregnes. $a_0 = \displaystyle \frac 1 L \int_{-L}^{L} f(x) dx$   ,       $a_n = \displaystyle \frac 1 L \int_{-L}^{L} f(x) \cdot \cos(\frac{n \pi} L x) dx$ $b_n = \displaystyle \frac 1 L \int_{-L}^{L} f(x) \cdot \sin(\frac{n \pi} L x) dx$

Sett inn for n = 1, 2, 3, 4, ... i uttrykkene for a0, an og bn som ble funnet i (1), (2) eller (3) og finn deretter et generelt uttrykk med n som variabel for leddene. (1)     $\displaystyle \frac 1 2 a_0 + a_1 \cos(\frac \pi L x) + a_2 \cos(\frac {2\pi} L x) + a_3 \cos(\frac {3\pi} L x) + ... = \frac 1 2 a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac {n\pi} L x)$ (2)     $\displaystyle b_1 \sin(\frac \pi L x) + b_2 \sin(\frac {2\pi} L x) + b_3 \sin(\frac {3\pi} L x) + ... = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac {n\pi} L x)$ (3)     $\displaystyle \frac 1 2 a_0 + a_1 \cos(\frac \pi L x) + a_2 \cos(\frac {2\pi} L x) + a_3 \cos(\frac {3\pi} L x) + ...$           $+ \displaystyle b_1 \sin(\frac \pi L x) + b_2 \sin(\frac {2\pi} L x) + b_3 \sin(\frac {3\pi} L x) + ...$           $\displaystyle = \frac 1 2 a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(\frac {n\pi} L x) + \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(\frac {n\pi} L x)$

Noen formler: $\int \sin(A n x)dx = - \frac 1 {A n} \cos(A n x)$       $\int x \cdot \sin(A n x)dx = \frac 1 {A^2 n^2} \sin(A n x) - \frac 1 {A n} x \cos(A n x)$ $\int \cos(A n x)dx = \frac 1 {A n} \sin(A n x)$          $\int x \cdot \cos(A n x)dx = \frac 1 {A^2 n^2} \cos(A n x) + \frac 1 {A n} x \sin(A n x)$ $\sin(n \pi) = 0$                       $\sin(\frac{n \pi}2) = 1 , 0 , -1 , 0 , 1 , ...$    [=0 for n=partall    =±1 for n = oddetall] $\cos(n \pi) = (-1)^n$           $\cos(\frac{n \pi}2) = 0 , -1 , 0 , 1 , 0 , ...$    [=0 for n=oddetall    =±1 for n = partall]