Flere av eksemplene viser hvordan MATLAB løser oppgavene. Tilleggspakka Symbolic Toolbox brukes til symbolske uttrykk. Som alternativ til MATLAB kan GNU Octave brukes til numeriske beregninger. Octave har også en foreløpig beta-versjon av Symbolic Toolbox.
En tallfølge er en endelig eller uendelig ordnet liste med tall.
| $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ | - endelig tallfølge |
| $\{1, 3, 5, 7, ...\}$ | - uendelig tallfølge |
| $\{1, -\frac 1 2, \frac 1 4, -\frac 1 8, ...\}$ | - alternerende tallfølge |
| $a_n$ | - det generelle leddet |
| $\{a_n\}\;,\;\;\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ | - en generell tallfølge |
En posisjonsindeks n angir tallenes plass i følgen og verdien av det n-te leddet $a_n$ er gitt av en regel (formel) som en funksjon av n, $a_n = a(n)$ .
Tallfølgen {1, 3, 5, 7, ... } kan defineres av regelen $a_n = 2 n - 1\;,\;\;n \geq 1$.
En tallfølge kan også være definert rekursivt - med sammenhengen mellom etterfølgende ledd,
Tallfølgen {1, 3, 5, 7, ... } kan også defineres av $a_n = a_{n-1} + 2\;,\;\;a_1 = 1$.
Eksempel 1
Skriv tallfølgen gitt som $a_n = 1 - \frac 1 n\;,\;\;n \geq 1$ på elementform.
$\{1-\frac 1 1,\;1-\frac 1 2,\;1-\frac 1 3,\;1-\frac 1 4, ...\} = \{0,\;\frac 1 2,\;\frac 2 3,\;\frac 3 4, ...\}$.
% MATLAB lager tallfølgen
>> n = 1:7 % Rekkevektor med n-verdier
n =
1 2 3 4 5 6 7
>> a = 1 - 1./n % Beregner a for hver verdi av n
a =
0 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7
>> a(4) % Det 4. leddet
ans = 3/4
En konvergerende tallfølge har ledd som nærmer seg en fast verdi L når n går mot uendelig,
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L}$ , eller også for et tall ε , $|a_n - L| < \epsilon$ for alle $n \geq N$.
Eksempel 2
Tallfølgen med ledd $a_n = \frac {6 n}{3 n - 5}\;,\;\;n \geq 1$ er $\{-3,\;12,\;\frac 9 2,\;\frac {24} 7,\;3,\;\frac {36}{13},\;\frac {21}{8}, ...\}$
Grenseverdien for leddene blir $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{6}{3-5/n}=2}$
% MATLAB Numeric viser tallfølgen >> n = 1:100; >> a = 6*n./(3*n-5); >> bar(n, a) [Viser stolpediagram for leddene som nærmer seg verdien 2]
% MATLAB Symbolic finner grenseverdien >> syms m; >> b = 6*m/(3*m-5); >> limit(b, m, inf) ans = 2
Hvis vi setter sammen to konvergente tallfølger får vi en ny tallfølge med grenseverdier gitt av reglene:
Hvis grensene $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A}$ og $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B}$ eksisterer med A og B som reelle tall, så er:
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n + b_n) = A+B}$ $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B}$ $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac A B\;\;\; {}_{b_n \neq 0 \;,\; n > N}^{B \neq 0}}$
Hvis $a_n = f(n)$ for $n \in \mathbb{N}$ , så vil $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = L}$ gi at $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L}$
Grensedrøftingen gjøres med l'Hopitals regel i uttrykk av typen $\frac{'0'}{'0'}$ eller $\frac{'\infty'}{'\infty'}$.
Hvis $a_n \leq b_n \leq c_n$ for alle n og $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L=\lim_{n \rightarrow \infty} c_n }$,
så er også $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = L}$
| Monotont voksende: | $a_n \leq a_{n+1}$ |
| Monotont minkende: | $a_n \geq a_{n+1}$ |
| Begrenset med øvre skranke M: | $a_n \leq M \text{ for alle } n \in \mathbb{N}$ |
| Begrenset med nedre skranke m: | $a_n \geq m \text{ for alle } n \in \mathbb{N}$ |
| Begrenset mellom m og M: | $m \leq a_n \leq M \text{ for alle } n \in \mathbb{N}$ |
Monotoni kan avgjøres ved å drøfte differansen mellom to påfølgende ledd, $a_{n+1} - a_n$
eller $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} f'(x)}$ for følgefunksjonen $f(x)$. En begrenset, monoton tallfølge konvergerer.
Hvis $a_n = f(n)$ og $b_n = g(n)$ og $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow \frac {\infty}{\infty} \text{ når } x \rightarrow \infty$, så er
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}}$
Eksempel 3
- Finn et uttrykk for det generelle leddet i tallfølgen $\{\frac 1 2,\;1,\;\frac 9 8,\;1,\;\frac{25}{32},\;\frac{9}{16},\;\frac{49}{128},\;\frac{1}{4}, ....\}$.
- Finn grenseverdien for det generelle leddet.
Noen av brøkene er kanskje forkortet, prøver med andre verdier for nevnere,
$\small{\{\frac 1 2,\;1,\; \frac 9 8,\;1,\;\frac{25}{32},\;\frac{9}{16},\;\frac{49}{128},\;\frac{1}{4}, ....\}} = \{\frac 1 2,\;\frac 4 4,\; \frac 9 8,\;\frac{16}{16},\;\frac{25}{32},\;\frac{36}{64},\;\frac{49}{128},\;\frac{64}{256}, ....\}$
Det generelle leddet er $\displaystyle{a_n = \frac {n^2}{2^n}\;,\;\;n \geq 1}$
Grenseverdidrøfting: $\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{2^n}=\frac{'\infty'}{'\infty'} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n}{(\ln 2)2^n}= \frac{'\infty'}{'\infty'} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{(\ln 2)^2 2^n}=0}$
% MATLAB Symbolic tar saken >> syms n; >> limit(n^2/2^n, n, inf) ans = 0
Ei rekke er summen av leddene i en tallfølge, $\displaystyle{S_{\infty} = S = \sum_{n=1}^{\infty}a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...}$.
Summen av de n første ledd i rekka er n-te delsum, $\displaystyle{S_n = \sum_{k=1}^{n}a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n }$.
Eksempel 4
Tallfølgen $\{\frac 1 2,\;\frac 1 4,\;\frac 1 8,\; \frac 1 {16},\;...\}$ danner rekka $(\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + \frac 1 {16} + ...)$
der $S_2 = \frac 3 4$ og $S_4 = \frac{15}{16}$ og $S = 1$.
>> syms n, a=1/2^n; >> symsum(a, n, 1, 2) ans = 3/4 >> symsum(a, n, 1, 4) ans = 15/16 >> symsum(a, n, 1, inf) ans = 1
Rekka $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}$ konvergerer mot S hvis n-te delsum konvergerer mot S, $\;\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty}S_n = S}$.
Hvis rekka $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerer, så er $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$. Men, at leddene avtar mot null er ikke alene nok til å fastslå at en rekke konvergerer. Derimot kan vi si at hvis leddene ikke avtar mot null, så divergerer rekka.
Summen av to rekker der begge konvergerer blir en ny konvergerende rekke.
Summen av to rekker der minst en divergerer blir en ny divergerende rekke.
De to konvergerende rekkene $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = A$ og $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = B$ danner nye konvergerende rekker,
| sum av rekker: | $\sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) = A + B$ |
| konstant ganger rekke: | $c \cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} c \cdot a_n = c \cdot A$ |
Det er leddene langt utover i rekka som avgjør om ei rekke konvergerer. Vi kan se bort fra leddene i starten uten at konvergensegenskapene endres, men rekkesummen blir selvsagt endret.
En gometrisk rekke har konstant forhold mellom to påfølgende ledd, $k = \frac {a_{n+1}} {a_n}$,
$\displaystyle{a + a k + a k^2 + a k^3 + ... = \sum_{n=0}^{\infty} a k^n}$ , første ledd med indeks 0 er a.
Den n-te delsum er $S_n = a \frac{k^n-1}{k-1}$.
Hvis $|k| < 1$ konvergerer rekka til $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = a \frac 1 {1-k}$.
Eksempel 5
En geometrisk rekke med a = 3 og $k = - \frac 1 2$ ser slik ut:
$\displaystyle{3 + 3 \cdot (-\frac 1 2) + 3 \cdot (- \frac 1 2)^2 + 3 \cdot (- \frac 1 2)^3 + ... = 3 - \frac 3 2 + \frac 3 4 - \frac 3 8 + ... = 3 \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac 1 {2^n}}$
Rekka konvergerer til summen $\displaystyle{S = a \frac 1{1-k} = 3 \frac 1{1-(-\frac 1 2)} = 2}$
>> syms a k n, a=3; k=-1/2; >> symsum(a*k^n, n, 0, inf) ans = 2
Aritmetisk rekke, $a_{n+1} = a_n + d$. Hvis første ledd er a er $a_n = a + (n-1)d$. Divergerer alltid!
- har påfølgende ledd som summeres til 0, som regel av formen
$(A-B)+(B-C)+(C-D) + ... + (..- Y) + (Y - Z) = A - Z$
som konvergerer til A hvis siste ledd går mot null.
Eksempel 6
Rekkesummen $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1 {n(n+1)}= \frac 1 2 + \frac 1 6 + \frac 1 {12} + ...}$ kan finnes slik:
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac 1 {n(n+1)} = \small{\frac{delbrøk}{spalting}} = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac 1 n - \frac 1 {n+1})}$
$\displaystyle{ = (\frac 1 1 - \frac 1 2)+(\frac 1 2 - \frac 1 3)+(\frac 1 3 - ..) + ... + ( ..- \frac 1 {n-1})+(\frac 1 {n-1}-\frac 1 n) = \frac 1 1 - \frac 1 n \rightarrow 1}$
>> syms n >> symsum(1/(n*(n+1)), n, 1, inf) ans = 1
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^p}}$ konvergerer hvis $p > 1$ og divergerer hvis $p \leq 1$.
Den spesielle rekka vi har for p = 1 kalles den harmoniske rekka, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...
og er akkurat over grensen til divergens.
Eksempel 7
Rekkesummen $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^2}}$ finnes altså ifølge konvergenskravet for ei p-rekke, men summen er ikke så lett å beregne eksakt. Prøver her med MATLAB,
>> n=1:777; >> sum(1./n.^2) ans = 1.6436
Rekka konvergerer til ca. 1.64, men det er ikke så lett å finne ut at summen blir $\frac {\pi^2} 6$.
Med noen knep (som kommer senere) kan vi finne ut av dette.
>> %MATLAB Symbolic finner grenseverdien >> syms n; >> symsum(1/n^2, n, 1, inf) ans = pi^2/6
Hvis m er et ikkenegativt heltall:
$\displaystyle{(1+x)^m = x^m + \binom{m}{1} x^{m-1} + \binom{m}{2} x^{m-2} + ... + \binom{m}{m-1} x + 1\;,\;\;\;\;\;}$ $\binom{m}{k} = \frac{m!}{k!(m-k)!}$
Dette er ikke en rekke, men formelen for et polynom med (opptil) m+1 ledd. For andre verdier av m får vi binomisk rekke eller binomialrekka,
$\displaystyle{(1+x)^m = 1 + m x + \frac {m(m-1)} {2!} x^2 + ... + \frac {m(m-1) \cdot \cdot \cdot(m-n+1)} {n!} x^n + ...}$
$\displaystyle{\phantom{(1+x)^m} = 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \frac {m(m-1)(m-2)\cdot \cdot \cdot(m-i+1)} {i!} x^i}$
Eksempel 8
Utvid $(1+x)^3$ med binomialformelen.
$(1+x)^3 = x^3 + \binom 3 1 x^{3-1} + \binom 3 2 x^{3-2} + 1 = x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1$
>> syms x, expand((1+x)^3) ans = x^3 + 3*x^2 + 3*x + 1
Eksempel 9
Finn noen ledd i rekkeutviklingen av $\sqrt[3]{1+x}$.
$(1+x)^{\frac 1 3} = 1 + \frac 1 3 x + \frac{\frac 1 3(\frac 1 3-1)}{2!}x^2 + \frac{\frac 1 3(\frac 1 3-1)(\frac 1 3-2)}{3!}x^3 + \frac{\frac 1 3(\frac 1 3-1)(\frac 1 3-2)(\frac 1 3-3)}{4!}x^4 + ...$
$\phantom{(1+x)^{\frac 1 3}} = 1 + \frac 1 3 x - \frac 1 9 x^2 + \frac{5}{81}x^3 - \frac{10}{243} x^4 + ...$
>> taylor((1+x)^(1/3), x) ans = (22*x^5)/729 - (10*x^4)/243 + (5*x^3)/81 - x^2/9 + x/3 + 1
Summen av de n første ledd i ei rekke er n-te delsum, Sn. Rekka konvergerer hvis Sn nærmer seg en grense for store n. En nødvendig betingelse for konvergens av rekka $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ er at $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.
Men, $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ er ikke nok, som følgende rekker demonstrerer, først halveringsrekka som konvergerer,
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {2^n} = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + ... = 2$
- så den harmoniske rekka som divergerer,
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {n} = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + \frac 1 5 + \frac 1 6 + \frac 1 7 + \frac 1 8 + ... > 1 + \frac 1 2 + (\frac 1 4 + \frac 1 4) + (\frac 1 8 + \frac 1 8 + \frac 1 8 + \frac 1 8) + (..) + ... \to \infty$
Hvis derimot $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ har vi at rekka divergerer, og dette kan også kalles divergenstesten eller n-te ledds test.
Hvis $a_n = f(n)$ og $f(x)$ er positiv, kontinuerlig og avtakende for alle $x \geq N$ ,
så vil $\displaystyle{\sum_{n=N}^{\infty} a_n}$ og $\displaystyle{\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx}$ enten begge konvergere eller begge divergere.
Integralet i testen er et uegentlig integral - det løses ved å utføre integrasjonen med en viss øvre grense s og deretter drøfte resultatet når s vokser mot uendelig.
Eksempel 11
Finn ut om den harmoniske rekka $1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...$ konvergerer.
Setter $a_n = \frac 1 n\;,\;\;n \geq 1$ og $f(x) = \frac 1 x$ som funksjonsuttrykk, der $f(n) = a_n$ og integrerer,
$\displaystyle{\int_1^{\infty}f(x)\,dx = \lim_{s \to \infty} \int_1^s \frac 1 x \,dx = \lim_{s \to \infty} [\ln x]_1^s = \lim_{s \to \infty} (\ln s - \ln 1) = \text{'over alle grenser'}}$
Den harmoniske rekka divergerer.
>> syms n s >> Integralet = int(1/x, x, 1, s) Integralet = log(s) >> limit(Integralet, s, inf) ans = Inf
Eksempel 12
Finn ut om den rekka $1 + \frac 1 {\sqrt{2}} + \frac 1 2 + \frac 1 {2\sqrt{2}} + \frac 1 4 + ...$ konvergerer.
Setter $a_n = \frac 1 {2^{\frac n 2}}\;,\;\;n \geq 0$ og $f(x) = 2^{-\frac n 2}$ som funksjonsuttrykk, der $f(n) = a_n$ og integrerer,
$\displaystyle{\int_0^{\infty}f(x)\,dx = \lim_{s \to \infty} \int_0^s {2^{-\frac n 2}} \,dx = \lim_{s \to \infty} [- \frac 1 {\ln 2}\cdot 2^{1-\frac x 2}]_0^s = \lim_{s \to \infty} \frac 1 {\ln 2} (2 - 2^{1-\frac s 2}) = \frac 2 {\ln 2}}$
Denne rekka konvergerer.
Men, legg merke til at verdien av integralet ikke nødvendigvis er lik rekkesummen. Denne rekka kan vi også se på som en geometrisk rekke med første ledd $a = 1$ og kvotient $k = \frac 1 {\sqrt 2}$ som får sum $a \frac 1{1-k} = \frac 1{1-{ \frac 1 {\sqrt 2}}} = 2 + \sqrt 2$.
>> syms n, a=1/sqrt(2)^n; >> symsum(a, 0, inf) ans = 2^(1/2) + 2
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ og $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ er to rekker der $a_n \geq b_n \geq 0$ for $n \geq N$,
hvis $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ konvergerer, vil $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ konvergere,
hvis $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}b_n}$ divergerer, vil $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}a_n}$ divergere.
Her er et par rekker som ofte brukes til sammenlikningstesten:
$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {g^n}}$ Geometrisk rekke som konvergerer for $g > 1$.
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 {n^p}}$ Konvergerer for $p > 1$, divergerer for $p \leq 1$.
Eksempel 13
Bruk sammenligningstesten til å finne ut om rekka $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt n} {n^2+3}}$ konvergerer.
Rekka har generelt ledd $ a_n = \frac {\sqrt n} {n^2+3}$ som vi kan tøye litt i slik at det får en form som lettere kan sammenliknes leddene i med kjente rekker,
$\displaystyle{a_n = \frac {\sqrt n} {n^2+3} = \frac 1 {\frac{n^2}{\sqrt n}+\frac{2}{\sqrt n}} = \frac{1}{n^{\frac 3 2} + 2 n^{-\frac 1 2}}}$
Her velger jeg å sammenlikne med p-rekka med ledd $b_n = \frac 1 {n^{\frac 3 2}}$ som konvergerer. Her har vi at $a_n < b_n$ - og dermed vil rekka $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac {\sqrt n} {n^2+3}}$ også konvergere.
>> syms n, assume(n >= 1) >> a=sqrt(n)/(n^2+3); b=1/n^(3/2); >> sign(a-b) % Sammenlikner a>b, a<b, a=b ? ans = -1 % a<b for alle positive n
Eksempel 14
Bruk sammenligningstesten til å finne ut om rekka $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {1} {3 n + 5}}$ konvergerer.
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac 1 8 + \frac 1 {11} + \frac 1 {14} + \frac 1 {17} + \frac 1 {20} + \frac 1 {23} + \frac 1 {26} + \frac 1 {29} + ...}$
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac 1 4 + \frac 1 {8} + \frac 1 {12} + \frac 1 {16} + \frac 1 {20} + \frac 1 {24} + \frac 1 {28} + \frac 1 {32} + ...}$
Her ser vi at fra og med $n = 4$ har vi $a_n \leq b_n$, noe vi kan bekrefte ved å se på ulikheten $\frac 1 {4 n} \leq \frac 1 {3 n + 5}$ som er likeverdig med $4 n \geq 3 n + 5$ som er oppfylt for $n \geq 5$.
Konklusjon: Rekka $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ divergerer.
En rekke med ledd som for eksempel $a_n = \frac {n+2}{n^3}$ er ikke uten videre egnet til sammenligningstesten, men med grensesammenlikningstesten kan vi finne ut av det,
Hvis $\sum a_n$ og $\sum b_n$ er rekker med positive ledd, og grenseverdien $\displaystyle{L = \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}}$ eksisterer,
og $0 < L < +\infty$ , så vil enten begge rekker konvergere eller begge rekker divergerere.
Eksempel 15
Finn ut om rekka $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {n+2} {n^3}}$ konvergerer.
Prøver med grensesammenlikningstesten mot rekka med ledd $b_n = \frac {1}{n^2}$ som konvergerer.
$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n^3} \cdot \frac{n^2}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac {n + 2 }{n} = 1 = L}$
Vi har at $0 < L < \infty$ og rekka konvergerer.
Hvis grenseverdien $\displaystyle{L = \lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|}$ enten eksisterer eller er uendlig, så
- konvergerer rekka dersom $L < 1$,
- divergerer rekka dersom $L > 1$,
- og vi har ingen konklusjon hvis $L = 1$.
Her danner vi forholdet mellom to ledd som følger etter hverandre, det siste i telleren. Testen gir ikke konklusjon hvis grenseverdien = 1, da må vi ty til andre testmetoder. Forholdstesten kan også formuleres for en rekke med bare positive ledd - og er da lik med definisjonen ovenfor der absoluttverditegnet er sløyfet.
Eksempel 16
Finn ut om rekka $\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n+2}}$ konvergerer.
Tester forholdet $\displaystyle{L = \lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty}|\frac{3^{n+1}}{n+1+2} \cdot \frac{n+2}{3^n}| = 3 \cdot \lim_{n \to \infty}|\frac{n+2}{n+3}|} = 3$
Vi har at $L > 1$ og rekka divergerer.
% Lager en symbolsk funksjon a(n) med formelen for ledd nr. n >> syms n, a = symfun(3^n/(n+2), n); >> limit(a(n+1)/a(n), n, inf) ans = 3
$\displaystyle { \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_n}$ der $a_n \geq 0$ konvergerer hvis $a_n > a_{n+1} > 0$ for $n > N$ og $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ .
Eksempel 17
Finn ut om den alternerende harmoniske rekka $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ konvergerer.
Er de to betingelsene for konvergens av alternerende rekke oppfylt?
- er $a_n > a_{n+1} > 0$? dvs. $\frac 1 n > \frac 1 {n+1}$? Ja,
- er $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$? dvs. $\lim_{n \to \infty} \frac 1 n = 0$? Ja.
Konklusjon, den alternerende harmoniske rekka konvergerer.
Hvis rekka $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|}$ konvergerer, så er rekka $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ absolutt konvergent.
Absolutt konvergens har vi hvis både $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ og $\sum_{n=1}^{\infty} | a_n |$ konvergerer.
Betinget konvergens har vi hvis $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ konvergerer og $\sum_{n=1}^{\infty} | a_n |$ divergerer.
Eksempel 18
Rekka $\sum_{n=0}^{\infty} a_n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac 1 {2^n} = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 4 - \frac 1 8 + ...$ konvergerer, og
rekka $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n| = \sum_{n=0}^{\infty} |(-1)^n \frac 1 {2^n}| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac 1 {2^n} = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 + ...$ konvergerer også,
altså er rekka $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ en absolutt konvergent rekke.
Rekka $\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac 1 n = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 3 - \frac 1 4 + ...$ konvergerer, og
rekka $\sum_{n=1}^{\infty} |b_n| = \sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n-1} \frac 1 n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1 n = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \frac 1 4 + ...$ divergerer,
altså er rekka $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ en betinget konvergent rekke.
Eksempel 19
Finn konvergensegenskapene til den alternerende rekka $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n^2}{2^n}$.
De 10 første leddene (uforkortet) i rekka er
1/2 - 4/4 + 9/8 - 16/16 + 25/32 - 36/64 + 49/128 - 64/256 + 81/512 - 100/1024
Absoluttverdien av leddene vingler litt opp og ned i starten, men fra 4. ledd ser det ut som om absoluttverdien avtar. Fordi 2n øker raskere i verdi enn n2 ser vi at rekka konvergerer betinget, men vi mistenker også at den konvergerer absolutt. Dette må testes formelt, pøver med forholdstesten:
$L = \lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)^2 / 2^{n+1}}{n^2 / 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac 1 2$
Forholdstesten viser L < 1 , rekka konvergerer absolutt.
Se også Potensrekker og en
Oppsummering av konvergenstester.